《九章》商功章提出了许多多面体体积的算法，并在实际中使用了长方体的体积公式V=abh，对此，刘徽把它看成不言自明而未试图证明。

图3 堑之出入相补

堤、沟、渠是水利设施，堑、城、垣是建筑或防御工事，其横截面都是相等的梯形。设上、下广是a、b，高(深)h，长l，《九章》提出的体积公式是V=½(a+b)hl。刘徽采用出入相补，将其变成宽½(a+b)，长l，高h的长方体证明之(图3)。

图4 堑堵

图5 阳马

堑堵是将长方体沿相对两棱剖开所得的立体(图4)，其体积显然为V=½abh。沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，一部分是底面为长方形，一棱垂直于底面的四棱锥，称为阳马(图5)，《九章》给出其体积公式V=(1/3)abh；一部分为四面都是勾股形的四面体，叫鳖臑〔nao闹〕(图6)，其体积V=(1/6)abh。在a=b=h的情况下，人们用六个鳖臑或三个阳马可拚成一个正方体，上述两个公式是显然的，这是棊(同“祺”)验法。而当a≠b≠h时，棊验法无能为力，必须用无穷小分割方法才能证明上述公式。这是刘徽的重大贡献，将在第十一节中介绍。

图6 鳖臑

方锥的体积与阳马相同(见图7)。今之方台，古代称为方亭。设上方边长a，下方边长b，高h(图8)，《九章》给出的公式是V=(1/3)(a2+b2+ab)h。刘徽又给出等价的公式V=(1/3)(b-a)2h+abh。刍童是草垛，盘池是挖的水池，冥谷是挖的大墓穴，都是上、下底面为长方形的棱台体(图9)。汉代帝王的陵墓都是刍童形。设上底为a1×b1，下底为a2×b2，高h，《九章》给出的体积公式是V=(1/6)［(2a1+a2)b1+(2a2+a1)b2］h。刘徽又提出两个等价的公式V=(1/3)(a2-a1)+(a2-a1)h+½(a2b1+a1b2)h和V=(1/3)［a1b1+a2b2+½(a2b1+a1b2)］h。刍甍也是草垛，形状像屋脊(图10)。设底面为a2×b2，上长b1，高h，《九章》给出其体积公式V=(1/6)(2b2+b1)ha2。刘徽又给出等价的公式V=(1/3)(b2-b1)ha2+½b2a2h。羡〔音yan，通埏〕除是墓道，它是一种三面为等腰梯形(其中两面互相垂直)而两侧面为三角形的楔形体(图11)。设其三广为a、b、c，高h，长l。

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