祖冲之求解负系数方程的资料已佚。现存史料中，第一次突破方程系数为正的限制的是北宋12世纪数学家刘益。据杨辉《田亩比类乘除捷法》所引，刘益《议古根源》中提出了形如x2-12x=864，-5x2+228x=2592，-5x4+52x3+128x2=4096的方程，可见他还突破了首项系数是1的限制。刘益为解决这些负系数方程，提出了益积开方术和减从开方术。杨辉说刘益的方法“实冠前古”。这两种方法尚不是增乘方法，后者与增乘开方法比较接近。

秦九韶提出正负开方术，把以增乘开方法为主体的高次方程数值解法发展到十分完备的程度。他的方程有的高达10次，方程系数在有理数范围内没有限制。他规定实常为负，这实际上是求解如下方程的正根：f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0(a0≠0,an<0)

秦氏正负开方术的完整表述在《数书九章》田域类“尖田求积”问中：已知两尖田合成的一段田地，大斜39步，小斜25步，中广30步，求其面积(如图31)。此题归结为开玲珑三乘方：-x4+763200x2-40642560000=0

图31 尖田

其开方过程是：

(1)列出方式，开玲珑三乘方。

(2)上廉超一位，益隅超三位，商数进一位。上廉再超一位，益隅再超三位，商数再进一位，上商八百为定。

(3)以商生隅，入益下廉，以商生下廉消从上廉，以商生上廉，入方，以商生方，得正积，乃与实相消。以负实消正积，其积乃有余，为正实，谓之“换骨”。

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