等差级数问题在宋元时代发展为高阶等差级数求和问题。这一课题的开创者是北宋大科学家沈括。沈括研究了《九章算术》的刍童等立体体积公式(见第四节)，认为已相当完备，但是，没有求隙积的方法。隙积就是积之有隙者，如将一颗颗棋子、坛、罐等垒起来，如图34，虽然有刍童的形状，但因有刻缺空隙，若用刍童术求积，数值偏小。沈括便提出了隙积术。设隙积的上底宽a1，长b1，下底宽a2，长b2，高n层，且a2-a1-b2-b1=n-1，沈括提出的隙积术是：S=a1b1+(a1+1)(b1+1)+(a1+2)(b1+2)+…+a2b2=n〔(2a1+a2)b1+(2a2+a1)b2+(a2-a1)〕/6

图34 隙积

即刍童状隙积中物件的个数比刍童体积多n/6×(a2-a1)。隙积术实际上是一个二阶等差级数求和问题：

级数a1 b1(a1+1)(b1+1)(a1+2)(b1+2)(a1+3)(b1+3)(a1+4)(b1+4)…一阶差a1+b1+1a1+b1+3a1+b1+5a1+b1+7…二阶差2222…

南宋杨辉《详解九章算法》以各种菓子垛比类《九章》的立体。其中刍童形菓子垛与沈括的隙积术相同。四隅垛(比类方锥、阳马)的求积公式为：Sn=12+22+32+…+n2=n(n+1)(n+½)/3

方垛(比类方亭)的求积公式为：Sn=a2+(a+1)2+(a+2)2+…+(b-1)2+b2=n〔a2+b2+ab+½(b-a)〕/3

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