我们既已确信直观是一切证据的最高源泉，只有直接或间接以直观为依据才有绝对的真理，并且确信最近的途径也就是最可靠的途径，因为一有概念介于其间，就难免不为迷误所乘；那么，在我们以这种信念来看数学，来看欧几里德作为一门科学来建立的，大体上流传至今的数学时，我说，我们无法回避不认为数学走的路既是奇特的，又是颠倒的。我们要求的是把一个逻辑的根据还原为一个直观的根据，数学则相反，它偏要费尽心机来作难而弃却它专有的，随时近在眼前的，直观的依据，以便代之以逻辑的证据。我们不能不认为这种做法，就好比一个人锯下两腿以便用拐杖走路一样，又好比是《善感的胜利》一书中的太子从真实的自然美景中逃了出来，以便欣赏摹仿这处风景的舞台布景。这里我不能不回忆到我在《根据律》第六章中所已说过的，并且假定读者对此也是记忆犹新，宛在目前的。这样，我这里的陈述就可以和那里说的挂上钩，而无庸重新指出一个数学真理的单纯认识根据和它的存在根据之间的区别是在于前者可由逻辑途径获得，后者则是空间、时间各个局部间直接的，卑由直观途径认识的关联。唯有理解这种关联才能真正令人满意，才能提供透彻的知识；如果单是认识根据，那就永远停留在事物的表面上，虽然也能给人知道事物是如此的知识，但不能给人知道[事物] 何以是如此的知识。欧几里德就是走的后面这条路，显然是不利于科学的路。譬如说，他应该一开始就要一劳永逸地指出在三角形之中，角与边是如何互为规定的，是如何互为因果的；并且在他指出这些时，还应该按照根据律在纯空间上所有的形式；应指出这一形式在三角形角和边的关系上，和在任何地方一样，都要产生这样一种必然性，即一事物之是如此，乃是由于完全不同的另一事物之是如彼。他不这样让人们对于三角形的本质有彻底的理解，却提出有关三角形一些片段的，任意选择的命题，并经由逻辑地，按矛盾律获得的艰涩证明而为这些命题提出逻辑的认识根据，人们不是对于这种空间关系获得了应有尽有的知识，人们得到的只是这些关系中任意传达出来的一些结果；这就好比把一部精巧的机器指给一个人看时，只告诉他一些不同的作用，而不把这机器的内在结构和运转原理告诉他一样。欧几里德所证明的一切如此如彼，都是人们为矛盾津所迫不得不承认的，但是何以如此如彼，那就无法得知了。所以人们几乎是好象看过魔术表演一样，有一种不太舒服的感受，事实上，欧几里德大多数的证明都显著地象魔术。真理几乎经常是从后门溜进来的，因为它是由于偶然从某一附带情况中产生的。一种间接的反证常常一扇又一扇把门都给关了，只留下了一扇不关，这也就是人们无可奈何，不得不由此而进的一扇门。通常在几何学中，例如在毕达戈拉斯定理中，须要作出一些直线，却不明白为什么要这样做；往后才发现这些原来都是圈套，出其不意地收紧这圈套的口，就俘虏了学习人的信服，学习人只得拜倒而承认一些他完全不懂个中情况的东西。事实竟至于此，学习人可以从头至尾研读欧几里德的著作，然而仍不能对空间关系的规律有任何真正的理解，代之而有的只是背诵一些来自此等规律的结果。这种原属经验的，非科学的知识就如一个医生，他虽知道什么病要用什么药，却不认识两者间的关系一样。这一切都是由于人们异想天开，拒绝一个认识类型自有的求证求据的方式，而横蛮地代之以一种与这类型格格不入的方式。同时，在别的方面欧几里德用以贯彻他这主张的方法却还值得赞美，这是好多世纪以来便是如此的，以至于人们竟宣称他这种治数学的方法是一切科学论述的模范，所有其他科学莫不争起效尤；不过人们后来自己也不知其所以然，又从这里回过头来了。在我的眼光看起来，欧几里德在数学上使用的方法只能算作一种很“辉煌的”错误。凡是一种大规模的，故意有计划地造成而后来又普遍地被称许的迷误，既可以涉及生活也可以涉及科学；大致总可以在当时有权威的哲学中找到他的根据。最早是厄利亚学派发现了直观中的事物和思维中的事物两者间的区别，更常发现两者间的冲突，并且在他们的哲学警句中，诡辩中广泛地利用过这种区别。继厄利亚学派，往后有麦珈利学派，辩证学派，诡辩派，新学院派和怀疑论者；他们指出要注意的是假象，也就是感官的迷误，或者更可说是悟性的迷误。悟性把感官的材料变为直观，常使我们看见一些事物，其非真实是理性一望而知的；例如水影中显为破折的直杆等等。人们已知道感性的直观不是绝对可靠的，就作出了过早的结论，以为只有理性的，逻辑的思维才能建立真理；其实柏拉图（在《巴门尼德斯》），麦珈利学派，毕隆（Pyrrhon）和新学院溅已在一些例子（如后来塞克司都斯、恩比瑞古靳所用的那类例子）中指出在另一方面，推论和概念也导致错误，甚至造成背理的推论和诡辩，说这些东西比感性直观中的假象更容易产生，却更难于解释。那时，与经验主义对立而产生的唯理主义占着上风，欧几里德就是遵循唯理主义来处理数学的，所以他只将公理，无可奈何地，建立于直观证明上，其他一切则建立在推论上。在[过去的]一切世纪中，他的方法一直是有权威的；并且一天不把先验的纯粹直观从经验的直观区别开来，这种情况也必然会延续下去。虽有欧几里德的注释家普洛克罗斯似乎已经看到这种区别，譬如克卜勒在他那部《世界的谐律》中译成拉丁文的一段，就是这位注释家的原作在这方面的表现；不过普洛克罗斯不够重视这件事，他是把它孤立地提出来的，他未被人注意，自己也没有贯彻到底。所以直到两千年以后，康德的学说既命定要在欧洲各民族的知识、思想、行为上产生这样重大的变化，才会在数学领域里促成同样的变化。因为只有我们从这位伟大哲人那里懂得空间和时间的直观完全不同于经验的直观，完全无待于一切感官上的印象，决定感官而不为感官所决定，即是说空间和时间的直观是先验的，从而也是根本不容感官的迷误入侵的；只有学得了这些，然后我们才能理解欧几里德在数学上使用的逻辑方法只是多余的谨慎，有如健全的腿上再加拐杖似的；有如行人在夜间把白色的干路当作水，唯恐踏入水中，宁可在路边高一步，低一步，走过一段又一段，还自以为得计没有碰到这原不存在的水。直到现在，我们才能有确实把握说：在我们直接观察一个几何图形时，那必然是显现于我们之前的，既不来自划在纸上不很精确的图形，也不来自我们边看边设想的抽象概念。而是来自我们意识中一切先验的认识的形式。这形式，无论在什么地方，都是根据律；在这里、作为直观的形式，也即是空间，则是存在的根据律。存在根据律的自明性、妥当性，和认识根据律的自明性、妥当性，亦即是和逻辑的真确性，是同样大小，同样直接的。所以我们不用，也不可为了单独相信后者，就离开数学自有的领域而在二个和数学不相干的领域，概念的领域里求取数学的证明。如果我们坚守数学自有的园地，我们便可获得一个[很]大的优点，就是在数学中所知道的“有这么回事”与其“何以如此”现在成为一件事了，而不再是欧几里德把它完全割裂为两事，只许知道前者，不许知道后者的办法了。其实，亚里士多德在《后分析篇》第一篇第27节中说得非常中肯：“同时告诉我们‘有一事物’及其‘何以如此’的知识比分别讲述事物之有及其所以然的知识要准确些，优越些。”在物理学中我们要得到满足，只有事物之如此与其何以如此两种知识统一起来，才有可能。单是知道托瑞切利管中的水银柱高过二十八英寸，如果不同时知道其所以如此是由于空气的压力，那是一种不够的知识。然则在数学园里的隐秘属性，譬如[知道] 圆形中两两交叉的弦的线段总是构成同样的矩形，就能满足我们吗？这里的“是如此”，欧几里德固然已在第三卷第三十五条定理中证明了，但是“何以如此”仍然没有交代。同样，毕达戈拉斯定理也告诉了我们直角三角形的一种隐秘属性。欧几里德那矫揉造作，挖空心思的证明，一到“何以如此”就避不见面了，而下列简单的，已经熟知的图形，一眼看去，就比他那个证明强得多。这图形让我们有透入这事的理解，使我们从内心坚定地理解[上述]那种必然性，理解[上述] 那种属住对于直角的依赖性：在勾股两边不相等的时候，要解决问题当然也可以从这种直观的理解着手。根本可说任何可能的几何学真理都应该这样，单是因为每次发现这样的真理都是从这种直观的必然性出发的，而证明却是事后想出来追加上去的，就应该这样。所以人们只须分析一下在当初找出一条几何学真理时的思维过程，就能直观地认识其必然性。我希望数学的讲授根本就用分析的方法，而不采取欧几里德使用的综合方法。对于复杂的数学真理，分析方法诚然有很大的困难，然而并不是不可克服的困难。在德国已经一再有人发起改变数学讲授的方式并主张多采取这种分析的途径。在这方面表现得最坚定的是诺德豪森文科中学的数学、物理教员戈萨克先生，因为他在一八五二年四月六日学校考试的提纲后面，还附加了一个详细的说明，[内容是]如何试用我的原则来处理几何学。

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