正多边形（多边形的英语在希腊语中是多角体的意思）是一个具有n个等边的二维物体。因此，n＝3时，是一个等边三角形；n＝4时，是一个正方形；n＝5时，是一个五边形如此等等。多面体（希腊语的含义是多边的）是一个三维的物体，组成多面体的各面都是多边形。例如，立方体由六个正方形组成。简单的多面体，或者说正多面体，是没有空洞的。毕达哥拉斯学派和开普勒研究的本质问题是世界上只能有五面体，而且是正五面体。最容易的证明方法是用毕达哥拉斯的后辈笛卡尔和欧拉发现的关系式。该关系式把正多面体的面的个数F，棱的个数E和顶角的个量V联系起来：

V－E＋F＝2 （式1）

所以，立方体有六个面（F＝6）和8个项角（V＝8）；代入式1，得 8－E＋6＝2，即V14-E=2，E=12。式1计算结果立方体有12个边，立方体果然有12个棱。本书文献目录中列出的Courant and Robbins的著作中用简单几何方法证明了式1。根据式1可以证明世界上只能有正五面体。

多面体的任何一个棱均为相邻的两个多边形的边所共有。再以立方体为例，立方体的任何一个棱都是两个正方形的共边界。如果把一个多面体的所有面的所有边（nF）都计算一遍，则每一个棱都要两次计算。因此：

nF＝2E （式2）

以r代表一个顶角的共有边的个数，则在立方体中，r＝3。同理，每一个边都具有两个顶角。如果把所有的顶角（rV）都计算一遍，则每一个顶角也都要计算两次。因此：

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