用开方术解决实际问题，包括列出开方式和开方术两方面的内容。上节介绍了开方术，现在来谈开方式造术。宋元时代，开方式造术发展成为一种专门的学问，叫做天元术。后来又发展出二元术、三元术与四元术。

在第五节，我们已经看到了刘徽怎样从实际问题中抽象出二次方程的。唐王孝通列出了更复杂的方程。如《缉古算经》第15问，已知勾股相乘幂ab=706(1/50)，弦多于勾c-a=36(9/10)，求勾a、股b、弦c。他的术文是关于勾a的开方式：a3+½(c-a)a2=½(ab)2/(c-a)。自注的列开方式的思路是：

(ab)2=a2b2，

½(ab)2/(c-a)=½a2b2/(c-a)=½a2(c2-a2)/(c-a)=½a2(c+a)=a2［a+½(c-a)］=a3+½(c-a)a2

但是，怎样想到由½(ab)2/(c-a)开始变换，是个十分技巧的问题。不过，从刘徽到王孝通，其共同的方法是将两数相乘看成面积，三数相乘看成体积，通过出入相补原理解决。这种方法在宋朝发展为演段法，它实际上是通过等积变换列出方程的方法。在这里，未知量与已知量一样投入图形变换和数量运算。问题在于，对未知数没有统一的符号，显得繁琐。天元术以一个符号“天元一”表示未知数，通过天元多项式的运算相消，列出开方式，开方式造术有了规范的程序。

由于史料散佚，天元术的早期发展情况尚不清楚。祖颐在《四元玉鉴·后序》中谈到了天元术的发展概况。他说：“平阳(今山西临汾)蒋周撰《益古》，博陆(今河北蠡县)李文一撰《照胆》，鹿泉(今河北获鹿县)石信道撰《钤经》，平水(今临汾)刘汝谐撰《如积释锁》，绛(今山西新绛县)人元裕细草之，后人始知有天元也。”就是说，天元术通过从蒋周到元裕一系列数学家的不断努力，才完善起来。可惜这些著作除《益古》的部分题目保存在李冶的《益古演段》中外，其余已荡然无存。这里未提到李冶，其中元裕是不是李冶至友元好问，学术界亦未有定论。无论如何，李冶时代，天元术已是北方金元数学家的共同财富，《测圆海镜》、《益古演段》只是目前传世的使用天元术的最早的著作。李冶的笔记中对天元术的发展情况则谈得更为详细。他年轻时在东平县看到一算经，以人表示常数项，居中，仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天表示未知数的9、8……、1次幂，居人之上，地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼表示未知数的-1、-2……8、-9次幂，居人之下。后来他看到的天元术著作取消了表示各幂次的汉字，而以天元表示正幂，在上，地元表示负幂，在下，其幂次按位置值表示，在上距天元愈远，幂次愈高，在下距地元愈远，幂次愈低。太原彭泽、彦材作了重大改革，他们交换天元、地元的位置，采取天元在下，地元在上的方式。我们知道，开方图式中常数项在上，之下依次排列未知数的一次、二次……幂，彦材的改革使天元术表示法与开方图式一致，简便得多了。李冶《测圆海镜》表明，洞渊已经有了立天元一的明确步骤。李冶对天元术的重大贡献在于，他取消了表示负幂的地元，只用一个“元”字表示未知数的一次幂，或用“太”表示常数项，其他幂次皆按位置值给出，进一步简化了天元术的表示和运算。他在《测圆海镜》中仍取正幂在上，负幂在下的方式，在《益古演段》中则颠倒过来，正幂在下，负幂在上，后来的数学家都采取这种方式。

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