天元术的基本思想是：首先立所求的量为天元一，根据问题的条件给出两个等价的天元式，使两个天元式相减，便得到一个开方式，即一个方程式。后面这个过程叫做如积相消。而如积释锁则包含了列方程、解方程的完整过程。显然，立某量为天元一相当于今天的设某某为未知数x，天元式相当于今天的含未知数的多项式。如按《测圆海镜》的记法便表示多项式x4-332x3+27556x2。我们以《测圆海镜》卷七第2问为例展示天元术。此题是：

假令有圆城一所，不知周径。或问丙出南门直行一百三十五步而立，甲出东门直行十六步见之。问径几何？又法曰：二行相乘得数，又自之，为三乘方实。并二行步，以乘二行相乘数，又倍之为从。二行相并数以自乘于上，又二行相减数自乘减上位为第一廉。第二廉空。一益隅。益积开之得半径。

如图32，设南行EA为k，东行FB为l，则此即要求解方程-x4+4klx2+2kl(k+l)+(kl)2=0

图32 测圆

李冶用天元术推导这个四次方程的方法是：

草曰：立天元一为半城径，副置之。上加南行步得为股，下位加东行步得为勾。勾股相乘得为直积一段，以天元除之得为弦。以自之，得为弦幂，寄左。乃以勾自之，得，又以股自之，得，二位相并得，为同数。与左相消，得。开益积三乘方，得一百二十步，即半城径也。

这段文字用现代符号翻译出来就是：设x为圆城半径OC。x+k为股OA，x+l为勾OB。由于AB·OC=OA·OB，即AB·x=(x+k)(x+l)，故弦AB=(x+k)(x+l)/x=［x2+(k+l)x+kl］/x=x+(k+l)+klx-1，AB2=［x+(k+l)+klx-1］2=x2+2(k+l)x+k2+l2+4kl+2(k+l)klx-1+(kl)2x-2又AB2=OA2+OB2=(x+k)2+(x+l)2=2x2+2(k+l)x+k2+l2，两者相减，两端乘以x2，即得上述开方式。

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