四元术就是多元高次方程组解法,它实际上包括四元术表示法和四元消法两部分内容。
四元术的表示方法是常数项居中,旁记一“太”字,天元幂系数居下,地元居左,人元居右,物元居上,其幂次由它们与“太”字的位置关系决定,不必记出天、地、人、物等字,距“太”字愈远,幂次愈高,相邻两元幂次之积记入每行列的交叉处,不相邻之元的幂次之积无相应位置,寄放在夹缝中,如图33。一个筹式相当于现今的一个方程式,二元方程组列出两个筹式,三元方程组列出三个筹式,四元方程组列出四个筹式。这是一种分离系数表示法,对列出高次方程组与消元都很方便。可惜由于平面只有上、下、左、右四个方向,最多只能列出四元,高出四元的方程组便无能为力。
图33 四元布列
四元术的核心是四元消法,即将四元四式消成三元三式,再消成二元二式,最后化成一元一式,即高次开方式。朱世杰《四元玉鉴》卷首的“假令细草”中列出了天元术、二元术、三元术和四元术的范例。谨将第3问“三才运元”的消法解释如下。
草曰:立天元一为勾,地元一为股,人元一为弦。三才相配求得今式,求得云式,求得三元之式,以云式剔而消之,二式皆人易天位,前得,后得,互隐通分,相消,左得,右得。(罗士琳细草:以前式左行齐之,得,消前式,得,又以前式消之,得。复以前式左行齐之,得,三因前式,得,消之得为左式。以左行齐前式得;以以前式左行齐左式,得,相消得为右式。内二行得,外二行得,内外相消,四约之,得开方式,三乘方开之,得弦五步。
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